Diclib.com
ChatGPT AI Dictionary

Dictionary Lookup Custom Solutions

Enter a word or phrase in any language 👆

Language:

Translation and analysis of words by ChatGPT artificial intelligence

On this page you can get a detailed analysis of a word or phrase, produced by the best artificial intelligence technology to date:

how the word is used
frequency of use
it is used more often in oral or written speech
word translation options
usage examples (several phrases with translation)
etymology

What (who) is Равномерная сходимость - definition

Равномерная сходимость

важный частный случай сходимости (См. Сходимость). Последовательность функций f_n(x) (n = 1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f (x), если для каждого ε > 0 существует такое N = N (ε), что |f (x) - f_n(x)| < ε при n > N для всех точек х из данного множества. Например, последовательность функций f_n(x) = xⁿ равномерно сходится на отрезке [0, ¹/₂] к предельной функции f (x) = 0, так как |f (x) - f_n(x)| ≤ (¹/₂) ⁿ< ε для всех 0 ≤ x ≤ ¹/₂, если только n > ln (¹/_ε)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f (x) = 0 при 0 ≤ x < 1 и f (1) = 1, т.к. для любого сколько угодно большого заданного n существуют точки η, удовлетворяющие неравенствам

, для которых |f (η) - f_n(η)| = ηⁿ > ¹/_2. Понятие Р. с. допускает простую геометрическую интерпретацию: если последовательность функций f_n(x) равномерно сходится на некотором отрезке к функции f (x), то это означает, что для любого ε > 0 все кривые у = f_n(x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2ε, ограниченной кривыми у = f (x) ± ε для любого х из этого отрезка (см. рис.).

Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; например, предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, которая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математическом анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрических полиномов). См. также Приближение и интерполирование функций.

Рис. к ст. Равномерная сходимость.

Равномерная сходимость

Пусть X — произвольное множество, Y=(Y,d) — метрическое пространство, f_n\colon X\to Y, \ n = 1, 2,\dots — последовательность функций. Говорят, что последовательность f_n равномерно сходится к функции f\colon X\to Y, если для любого \varepsilon > 0 существует такой номер N_\varepsilon, что для всех номеров n>N_\varepsilon и всех точек x\in X выполняется неравенство

https://ru.wikipedia.org/wiki/Равномерная_сходимость

Сходимость в Lp

ВИД СХОДИМОСТИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ ИЛИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Сходимость в L1; Сходимость в L2; Сходимость в среднеквадратичном

Сходи́мость в L^p в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Сходимость_в_Lp

Wikipedia

Равномерная сходимость

Пусть $X$ — произвольное множество, $Y=(Y,d)$ — метрическое пространство, $f_{n}\colon X\to Y,\ n=1,2,\dots$ — последовательность функций. Говорят, что последовательность $f_{n}$ равномерно сходится к функции $f\colon X\to Y$ , если для любого $\varepsilon >0$ существует такой номер $N_{\varepsilon }$ , что для всех номеров $n>N_{\varepsilon }$ и всех точек $x\in X$ выполняется неравенство

\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon

Обычно обозначается $f_{n}\rightrightarrows f$ .

Это условие равносильно тому, что

\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in X}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Равномерная сходимость